Suma Parcial
Una suma parcial es la suma de un número finito de términos desde el inicio de una sucesión, usada para estudiar series infinitas.
Formula
S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k
Definition
Una suma parcial es la suma de solo los primeros términos de una sucesión, no la sucesión infinita completa, te detienes después de $n$ términos. La $n$-ésima suma parcial es $S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$, y una serie infinita converge si la sucesión de sumas parciales $\{S_n\}$ tiene un límite $L$, en cuyo caso $\sum_{k=1}^{\infty} a_k = L$. El criterio de Cauchy formaliza esto: dada una serie $\sum a_n$ en un espacio topológico, converge si y solo si $\{S_n\}$ es una sucesión convergente (equivalentemente, de Cauchy), lo que significa que para todo $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que $|S_m - S_n| < \epsilon$ para todo $m, n > N$.
Example
Para $1, 1/2, 1/4, 1/8, \ldots$: $S_1 = 1$, $S_2 = 1.5$, $S_3 = 1.75$, $S_4 = 1.875$, cada suma parcial acercándose más a $2$. Para la serie geométrica $\sum 2^{-k}$ desde $k=1$, $S_n = 1 - (1/2)^n$, así que $S_n \to 1$ cuando $n \to \infty$, lo que significa que la suma infinita es igual a $1$. En cambio, la serie armónica $\sum 1/n$ diverge a pesar de que $a_n \to 0$: agrupando los términos como $1 + (1/2) + (1/3+1/4) + (1/5+\ldots+1/8) + \ldots$ se muestra que cada grupo supera $1/2$, así que las sumas parciales crecen sin límite.
Key Insight
Las sumas parciales son cómo le damos sentido a sumar infinitos números: observamos qué pasa a medida que agregamos más y más términos, y si se acercan a un número fijo, la serie infinita converge a ese número. La distinción entre una serie (una expresión que indica una suma) y sus sumas parciales (los valores numéricos reales) es sutil pero crucial, una serie es una abreviatura, su valor se define como el límite de las sumas parciales. Estudiar las sumas parciales como una sucesión en un espacio métrico completo (espacio de Banach) da el marco para la convergencia absoluta, la convergencia condicional, y las diversas pruebas de convergencia: comparación, razón, raíz, e integral.