有序数对
yǒu xù shù duì
有序数对是写成(x, y)形式的一组两个数，用来标明一个点在坐标平面上的确切位置。
Definition
有序数对是括号内用逗号隔开的两个数，比如 $(3, 5)$：第一个数（$x$）是沿x轴从原点出发的水平位移，第二个数（$y$）是沿y轴的竖直位移。之所以叫"有序"，是因为交换两个值一般会得到不同的点，这个概念可以推广到三维空间中的有序三元组 $(x, y, z)$，以及更高维度中的n元组。严格地说，有序数对 $(a, b)$ 用库拉托夫斯基定义为集合 $\{\{a\}, \{a, b\}\}$，从而保证 $(a, b) = (c, d)$ 当且仅当 $a = c$ 且 $b = d$；这个集合论定义是笛卡尔积 $A \times B = \{(a, b) : a \in A, b \in B\}$ 的基础。
Example
要描点 $(4, 2)$：从原点出发，向右移动 $4$ 格，再向上移动 $2$ 格；要描点 $(-3, 5)$：向左移动 $3$ 格，再向上移动 $5$ 格。点 $(-5, 3)$ 是从原点向左 $5$ 个单位、向上 $3$ 个单位，位于第二象限；而 $(3, -5)$ 是向右 $3$ 个单位、向下 $5$ 个单位，位于第四象限，尽管用了相同的数字，位置却截然不同。笛卡尔积 $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$ 是所有实数有序对的集合，构成坐标平面，关系与函数都被定义为笛卡尔积的子集。
Key Insight
关键在"有序"二字：$(3, 5)$ 和 $(5, 3)$ 是网格上不同的点，第一个数永远是x坐标，第二个数永远是y坐标。豪斯多夫和库拉托夫斯基在20世纪初对有序数对的形式化，对于在严谨的集合论基础上建立数学至关重要，说明即使看似最原始的概念也可以归约为纯粹的集合论。