Orden de las Operaciones
El orden de las operaciones es el conjunto estándar de reglas que determina la secuencia en la que se realizan los cálculos en una expresión matemática.
Formula
\text{PEMDAS: Parentheses, Exponents, Multiply/Divide (left to right), Add/Subtract (left to right)}
Definition
El orden de las operaciones es un conjunto de reglas que indica qué operación matemática realizar primero cuando una expresión tiene más de una operación: (1) paréntesis y símbolos de agrupación, (2) exponentes y raíces, (3) multiplicación y división de izquierda a derecha (misma prioridad), y (4) suma y resta de izquierda a derecha (misma prioridad), a menudo recordado con la jerarquía de operaciones. Las operaciones del mismo nivel de prioridad se resuelven de izquierda a derecha, así que $12 / 4 \times 3 = 3 \times 3 = 9$, no $12/12=1$. Formalmente, esto es una convención sintáctica para analizar expresiones matemáticas sin ambigüedad, codificada en reglas de precedencia y asociatividad de operadores; notaciones formales como la Notación Polaca Inversa eliminan la necesidad de tales reglas al hacer explícito el árbol de análisis.
Example
$2 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14$ (se multiplica primero), no $(2+3) \times 4=20$ a menos que los paréntesis lo indiquen. $3 + 6^2 / (2 \times 3) - 1 = 3 + 36/6 - 1 = 3+6-1=8$, siguiendo primero los paréntesis, luego el exponente, luego la división, y luego la suma/resta de izquierda a derecha. La expresión $2^{3^2}$ es ambigua sin una convención de asociatividad: la asociatividad por la derecha (estándar) da $2^{(3^2)}=2^9=512$, mientras que la asociatividad por la izquierda da $(2^3)^2=8^2=64$; las matemáticas y la mayoría de los lenguajes de programación usan la asociatividad por la derecha para la exponenciación.
Key Insight
Un acrónimo o regla mnemotécnica ayuda a recordar la jerarquía de operaciones, y las reglas existen para que todos obtengan la misma respuesta a partir de la misma expresión. La multiplicación y la división están al mismo nivel y se resuelven de izquierda a derecha, que es la regla que elimina la ambigüedad ahí. La precedencia de operadores es en última instancia una decisión de diseño, no una ley matemática: distintos lenguajes de programación hacen elecciones distintas (APL, por ejemplo, evalúa estrictamente de derecha a izquierda sin precedencia), y la jerarquía estándar es simplemente la convención adoptada en la educación matemática.