数轴
shù zhóu
数轴是一条用点表示数的直线，正数位于零的右边，负数位于左边。
Definition
数轴是一条直线，其上每一点都代表一个数：向右移动数值增大，向左移动数值减小，零位于中间。更正式地说，它是实数系统的一种可视化表示，点与实数之间存在一一对应关系，两点 $a$ 与 $b$ 之间的距离为 $|a - b|$，用以模拟加法（向右）、减法（向左）、大小关系（$<, >$）以及绝对值（到原点的距离）。从拓扑学的角度看，数轴是度量空间 $(\mathbb{R}, d)$，其中 $d(x,y) = |x-y|$，它是（在等距意义下）唯一的完备、可分、连通且无边界的 $1$ 维流形，是极限、连续性和导数等定义的基础。
Example
在数轴上，$-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ 均匀分布，$2$ 在 $0$ 的右边，$-2$ 在 $0$ 的左边。从几何上解 $|-4 - x| = 3$，就是要找出所有与 $-4$ 距离为 $3$ 的点 $x$：它们是 $x = -7$ 和 $x = -1$。康托尔的构造反复去掉 $[0, 1]$ 的中间三分之一，再去掉剩余区间的中间三分之一；由此得到的康托尔集是数轴上一个测度为 $0$、却拥有不可数多个点的子集。
Key Insight
数轴把加法和减法变成了移动：加法意味着向右移动，减法意味着向左移动。同样的思想在 $2$ 维中给出坐标平面，在 $3$ 维中给出 $3$ 维空间，在任意维度中给出 $\mathbb{R}^n$，整个微积分与分析学都建立在这一模型之上。实数轴的完备性，即每个柯西序列都收敛，正是介值定理、中值定理和微积分基本定理得以证明的原因。