Distribución Normal
La distribución normal es una distribución de probabilidad simétrica y en forma de campana que describe muchos fenómenos naturales.
Formula
f(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}
Definition
La distribución normal es una curva en forma de campana donde la mayoría de los valores se agrupan cerca de la media y aparecen menos valores a medida que te alejas; es perfectamente simétrica. Formalmente, $N(\mu, \sigma^2)$ es una distribución de probabilidad simétrica, unimodal y continua, descrita completamente por su media $\mu$ y desviación estándar $\sigma$, con PDF $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$; es la distribución de máxima entropía para una media y varianza dadas. La normal multivariada $N(\mu, \Sigma)$ la generaliza con un vector de medias $\mu$ y una matriz de covarianza $\Sigma$, con PDF $f(x) = (2\pi)^{-k/2}|\Sigma|^{-1/2}\exp\left(-\tfrac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\right)$.
Example
Las estaturas de los adultos, los puntajes en exámenes estandarizados, y los errores de medición tienden a seguir una distribución normal, con la mayoría de las personas agrupadas alrededor del promedio y las personas muy altas o muy bajas siendo más raras. Los puntajes de CI están diseñados para ser $N(100, 15^2)$: aproximadamente $68\%$ de las personas obtienen entre $85$ y $115$, aproximadamente $95\%$ entre $70$ y $130$, y solo aproximadamente $0.3\%$ por debajo de $55$ o por encima de $145$. La función generadora de momentos de $N(\mu, \sigma^2)$ es $M(t) = \exp(\mu t + \sigma^2 t^2/2)$, que caracteriza completamente la distribución y cuyo logaritmo es una cuadrática en $t$, una propiedad única de la normal entre todas las distribuciones con momentos finitos.
Key Insight
La distribución normal a veces se llama "curva de campana" por su forma, y la naturaleza la produce a menudo porque muchas cosas resultan de la suma de muchos pequeños efectos aleatorios, una regla empírica que dice que $68\%$ de los datos caen dentro de $1\sigma$, $95\%$ dentro de $2\sigma$, y $99.7\%$ dentro de $3\sigma$ de la media. El teorema del límite central (TLC) establece que si $X_1, \ldots, X_n$ son i.i.d. con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$, entonces $\sqrt{n}(\bar{x}-\mu)/\sigma$ converge en distribución a $N(0,1)$, el fundamento matemático de la inferencia basada en la normal y la razón de la ubicuidad de la distribución normal en la práctica estadística.