众数
zhòng shù
众数是数据集中出现次数最多的值。
Definition
众数是一组数据中出现次数最多的值；一个数据集可以有一个众数、两个众数（双峰）或者当所有值出现频率相同时没有众数，对于定性数据，众数是频数最高的类别。数据集可以是单峰、双峰或多峰的，如果所有值频率相同则没有众数。形式上，连续分布的众数是使概率密度函数最大化的值 $x^*$（$f'(x^*) = 0$ 且 $f''(x^*) < 0$）；对样本而言，样本众数对连续数据来说并不是一个定义良好的统计量，因此连续分布的众数估计使用核密度估计，将 KDE 曲线的峰值识别为众数。
Example
一个 $7$ 人班级的鞋码为 $8$、$8$、$9$、$9$、$9$、$10$、$10$，众数是 $9$，因为它出现了 $3$ 次，比其他任何尺码都多。关于最喜欢类型的类别调查数据，动作片（$45$）、喜剧片（$30$）、剧情片（$45$）、恐怖片（$20$），是双峰的，因为动作片和剧情片都出现了 $45$ 次。正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 是单峰的，众数 $= \mu = 均值 = 中位数$，这是对称分布的一个特殊性质，而当 $\alpha > 1$ 且 $\beta > 1$ 时，贝塔分布 $\text{Beta}(\alpha, \beta)$ 的众数 $= (\alpha-1)/(\alpha+\beta-2)$。
Key Insight
众数是唯一适用于类别的集中趋势度量：你可以找出最受欢迎的口味、颜色或答案，但无法对它们求平均，它对应于频数分布的峰值。在贝叶斯统计中，后验分布的众数称为 MAP（最大后验）估计，它对应于带惩罚项的最大似然估计，是在后验难以处理时常用的一种点估计。