Multiplicación de Matrices
La multiplicación de matrices combina dos matrices tomando productos punto de filas y columnas, produciendo una nueva matriz que representa una composición de transformaciones.
Formula
(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}
Definition
La multiplicación de matrices combina dos matrices multiplicando filas de la primera por columnas de la segunda y sumando los resultados, "fila por columna," más complejo que simplemente multiplicar entradas correspondientes. Para $A$ ($m \times n$) y $B$ ($n \times p$), el producto $AB$ es $m \times p$ con $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}$; las columnas de $A$ deben ser iguales a las filas de $B$, y la multiplicación es asociativa y distributiva pero NO conmutativa, $AB \neq BA$ en general, ya que representa la composición de transformaciones lineales ("aplicar $B$ primero, luego $A$"). Esto hace de $M_n(F)$ una $F$-álgebra asociativa unitaria (no conmutativa para $n \ge 2$); la multiplicación ingenua cuesta $O(n^3)$, el algoritmo de Strassen logra $O(n^{2.807})$, y el exponente óptimo de multiplicación de matrices $\omega < 2.371$ sigue siendo un problema abierto en la matemática computacional, conjeturado a acercarse a $2$.
Example
$\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}19 & 22\\43 & 50\end{bmatrix}$, donde la entrada superior izquierda es $(1\times 5)+(2\times 7)=19$. Para $A = \begin{bmatrix}2 & 0\\1 & 3\end{bmatrix}$ y $B = \begin{bmatrix}1 & 4\\2 & 1\end{bmatrix}$: $AB = \begin{bmatrix}2 & 8\\7 & 7\end{bmatrix}$ mientras que $BA = \begin{bmatrix}6 & 12\\5 & 3\end{bmatrix}$, confirmando que $AB \neq BA$. El teorema de Cayley-Hamilton establece que toda matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico: para $A = \begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}$, el polinomio característico es $\lambda^2 - 5\lambda - 2$, y $A^2 - 5A - 2I = 0$.
Key Insight
La multiplicación de matrices representa la composición de transformaciones lineales, $AB$ significa "aplicar $B$ primero, luego $A$," lo cual explica su no conmutatividad: rotar y luego reflejar es distinto de reflejar y luego rotar. La multiplicación rápida de matrices está entre los problemas abiertos más importantes de la matemática computacional, se conjetura que el exponente óptimo $\omega$ es $2$, sugiriendo una multiplicación de tiempo casi lineal, pero demostrarlo sigue siendo un problema abierto.