Magnitud de un Vector
La magnitud de un vector es su longitud, calculada como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.
Formula
|v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \ldots + v_n^2}
Definition
La magnitud de un vector es simplemente su longitud, siempre un número no negativo, encontrada usando el teorema de Pitágoras sobre los componentes. Para $v = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$ en $\mathbb{R}^n$: $|v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \ldots + v_n^2}$, la norma euclidiana, que satisface $|v| \ge 0$ (con igualdad si y solo si $v=0$), $|cv| = |c| \cdot |v|$, y la desigualdad triangular $|u + v| \le |u| + |v|$. De forma más general, la norma euclidiana se deriva del producto interno, $\|v\| = \sqrt{\langle v,v \rangle}$; las normas deben satisfacer la definitud positiva, la homogeneidad absoluta y la desigualdad triangular, y otras normas incluyen la norma $L^1$ (suma de $|v_i|$) y la norma $L^\infty$ (máximo de $|v_i|$), todas equivalentes en un espacio de dimensión finita.
Example
Para $v = (3, 4)$: magnitud $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$, un vector que apunta $3$ unidades a la derecha y $4$ unidades hacia arriba tiene longitud $5$. Un vector unitario tiene magnitud $1$, encontrado al dividir un vector entre su propia magnitud; para $v = (1, 2, 2)$: $|v| = 3$, y el vector unitario $v/|v| = (1/3, 2/3, 2/3)$ se verifica ya que $(1/3)^2 + (2/3)^2 + (2/3)^2 = 1$. Distintas normas dan distintos valores para el mismo vector: $\|(3,4)\|_{L^2} = 5$, $\|(3,4)\|_{L^1} = 7$, $\|(3,4)\|_{L^\infty} = 4$, y en el aprendizaje automático, la regularización $L^1$ y $L^2$ penaliza los pesos del modelo usando exactamente estas normas.
Key Insight
La magnitud despoja la dirección y deja solo el tamaño, y el producto punto da un atajo, $|v|^2 = v \cdot v$, vinculando la magnitud y el producto interno, lo cual es lo que hace funcionar la fórmula $u \cdot v = |u||v|\cos(\theta)$. La elección de norma determina la geometría: la bola unitaria $L^1$ es un diamante, la $L^2$ es un círculo, la $L^\infty$ es un cuadrado, y en optimización, la regularización $L^1$ (Lasso) promueve la dispersión porque la bola $L^1$ tiene esquinas alineadas con los ejes de coordenadas.