对数
duì shù
对数回答的问题是"底数要取多少次方才能得到这个数?",记作 $\log_b(x) = y$,意即 $b^y = x$。
Formula
\log_b(x) = y \text{ means } b^y = x
Definition
对数告诉你需要用什么指数：$\log_b(x)$ 问的是"要把 $b$ 提高到多少次方才能得到 $x$？"严格地说，以 $b$ 为底 $x$ 的对数，写作 $\log_b(x)$，是使 $b^y = x$ 成立的指数 $y$，对 $x > 0$、$b > 0$ 且 $b \neq 1$ 有定义，具有关键恒等式 $\log_b(b^x) = x$ 和 $b^{\log_b(x)} = x$，并且它把乘法转化为加法：$\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)$。在分析学中，$\log_b: (0,\infty) \to \mathbb{R}$ 是 $b^x$ 的反函数，$\ln(x) = \int_1^x (1/t)\,dt$ 且 $\log_b(x) = \ln(x)/\ln(b)$；在复分析中，复对数 $\text{Ln}(z) = \ln|z| + i\,\text{Arg}(z)$ 是多值函数 $\log(z)$ 的主值分支。
Example
$\log_2(8) = 3$，因为 $2^3 = 8$；$\log_{10}(1000) = 3$，因为 $10^3 = 1000$；$\log_5(25) = 2$，因为 $5^2 = 25$。要解 $3^x = 81$，对两边取 $\log_3$：$x = \log_3(81) = \log_3(3^4) = 4$；要解 $2^x = 50$，$x = \log_2(50) = \ln(50)/\ln(2) \approx 5.64$。复对数 $\text{Ln}(i) = \ln|i| + i\,\text{Arg}(i) = i\pi/2$ 是主值，其他分支则加上 $2\pi i$ 的整数倍。
Key Insight
对数与指数运算是相反的操作，就像加法与减法：如果指数运算是把一个数逐步建立起来，对数就是把它重新拆解开来。对数能够驯服指数增长，这正是里氏震级、分贝尺度和 pH 值尺度都是对数尺度的原因，因为它们所测量的物理量跨越了许多数量级。对数的积分定义从几何上解释了为什么 $\log(xy) = \log(x) + \log(y)$：从 $1$ 到 $xy$ 的积分通过代换可以拆分为从 $1$ 到 $x$ 的积分加上从 $1$ 到 $y$ 的积分。