Mínimo Local
Un mínimo local es un punto de una función más bajo que todos los puntos cercanos, como el fondo de un valle.
Formula
f(c) \le f(x) \text{ for all } x \text{ near } c
Definition
Un mínimo local es el punto más bajo en un vecindario, como el fondo de un valle: todos los puntos cercanos son más altos. Formalmente, $f$ tiene un mínimo local en $c$ si $f(c) \le f(x)$ para todo $x$ en algún intervalo abierto (o vecindario reducido) alrededor de $c$; en un mínimo local diferenciable, $f'(c) = 0$ y $f'$ cambia de negativa a positiva. La condición suficiente de segundo orden es $f'(c) = 0$ y $f''(c) > 0$; en optimización multivariable, la Hessiana debe ser definida positiva en el punto crítico.
Example
El punto más bajo de un tazón es un mínimo local, todo a su alrededor está más arriba. Para $f(x) = x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$: $f'(x) = 2x - 6 = 0$ en $x = 3$, y $f''(3) = 2 > 0$ confirma un mínimo local en $f(3) = 0$. En el aprendizaje automático, el descenso de gradiente busca mínimos locales de una función de pérdida $L(\theta)$; para $L$ convexa, cualquier mínimo local es el mínimo global, razón por la cual la convexidad se valora tanto en optimización.
Key Insight
Así como un máximo local es la cima de una colina, un mínimo local es el fondo de un valle, y "local" significa que solo comparas puntos cercanos; para una función diferenciable, la derivada pasa de negativa (decreciente) a positiva (creciente) en un mínimo local. Las condiciones KKT generalizan las condiciones de mínimo local a problemas de optimización con restricciones, formando la base de la programación convexa moderna.