最佳拟合线
zuì jiā nǐ hé xiàn
最佳拟合线是最贴合散点图中数据点分布规律的直线，使总体误差最小。
Formula
\hat{y} = b_0 + b_1 x
Definition
最佳拟合线是穿过散点图、尽可能接近所有数据点的直线，概括了数据的总体趋势。形式上，它是最小化残差平方和 $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ 的最小二乘回归线 $\hat{y} = b_0 + b_1 x$，斜率 $b_1 = r(s_y/s_x)$，截距 $b_0 = \bar{y} - b_1\bar{x}$；这条线总是经过点 $(\bar{x}, \bar{y})$。它是通过求解正规方程 $(X^TX)\beta = X^TY$ 得到的；拟合值位于这条线上，残差与所有预测变量向量正交，这是投影到 $X$ 的列空间上的一个几何性质。
Example
在学习时间与测验分数的散点图上，最佳拟合线穿过点云的中间，展示了总体的上升趋势，尽管它不必经过任何一个单独的数据点。对于 $\bar{x}=5$，$\bar{y}=80$，$s_x=2$，$s_y=10$，$r=0.8$ 的数据：$b_1 = 0.8(10/2) = 4$，$b_0 = 80 - 4(5) = 60$，得到直线 $\hat{y} = 60 + 4x$，当 $x=7$ 时预测 $\hat{y} = 88$。从几何上看，OLS 将响应向量 $Y$ 投影到 $X$ 的列空间上：拟合值 $\hat{Y} = HY$，其中 $H = X(X^TX)^{-1}X^T$ 是帽子（投影）矩阵，残差 $e = Y - \hat{Y} = (I-H)Y$ 位于 $X$ 列空间的正交补空间中。
Key Insight
最佳拟合线的位置使其自身与所有数据点之间的总体距离最小，且它只适用于内插（在构建它所用的 x 值范围内进行预测）；远远超出数据范围进行外推是不可靠的，因为线性关系可能并不成立。帽子矩阵 $H$ 的对角元素（杠杆值 $h_{ii}$）衡量每个观测值对其自身拟合值的影响程度；具有高杠杆值且残差较大的点影响最大，可用库克距离来诊断。