首项
shǒu xiàng
首项是多项式中次数最高的项，由首项系数与取最高次幂的变量组合而成。
Definition
首项是多项式按最高次幂在前排列时的整个第一项，系数与变量合在一起；它是首项系数乘以取多项式次数的变量幂，它决定了多项式的长期（端点）行为，因为当 $|x|$ 很大时，多项式"看起来"就只是它的首项。在带有单项式序的多项式环 $F[x]$ 中，首项 $LT(f)$ 是按该序而言 $f$ 中最大的项；在格罗布纳基理论中，首项理想 $LT(I)$ 控制着理想 $I$ 中多项式的整除性与化简，布赫伯格算法通过计算首项之间的 S-多项式并化简余项来构造格罗布纳基。
Example
在 $6x^4 - 3x^2 + x - 5$ 中，首项是 $6x^4$；在 $-2y^3 + y$ 中，首项是 $-2y^3$。对 $2x^5 - 9x^3 + 4x$ 而言，当 $x \to +\infty$ 时，$2x^5 \to +\infty$，当 $x \to -\infty$ 时，$2x^5 \to -\infty$，与整个多项式在两端的行为相符。对字典序下的 $f = 4x^2 + 3x + 1$ 而言，$LT(f) = 4x^2$，用 $g = 2x + 5$（其中 $LT(g) = 2x$）作除法时，正是逐项利用这些首项进行的。
Key Insight
无论一个多项式有多少项，当 $x$ 很大时，它的表现都如同只有首项一样，这正是端点行为只取决于次数和首项系数的原因。在计算代数中，首项是多项式除法和格罗布纳基计算的关键抓手，使得多项式方程组能够通过算法求解。