首项系数
shǒu xiàng xì shù
首项系数是多项式按标准形式书写时，最高次项的系数。
Definition
首项系数是多项式按降幂排列（标准形式）后最高次幂变量前面的数，即首项的系数；如果一个多项式的首项系数为 $1$，就称它为首一多项式。首项系数与次数共同决定了端点行为：正首项系数配偶数次时，图像两端都向上；正首项系数配奇数次时，图像左端向下、右端向上。对 $f(x) = a_nx^n + \ldots + a_0$（$a_n \neq 0$）而言，首项系数决定了渐近行为，当 $x \to \pm\infty$ 时 $f(x)/(a_nx^n)$ 趋近于 $1$，首一多项式在许多代数构造中是典范代表，例如代数数的最小多项式，或矩阵 $A$ 的特征多项式 $\det(A - \lambda I)$，二者都是次数为 $n$ 的首一多项式。
Example
在 $4x^3 + 2x - 1$ 中，首项系数为 $4$；在 $-2x^4 + x^3$ 中，首项系数为 $-2$。在 $-3x^4 + 7x^2 - x + 2$ 中，首项系数 $-3$ 为负，且次数 $4$ 为偶数，所以图像两端都指向下方。
Key Insight
"首"（leading）意味着当多项式按最高次幂在前的顺序书写时，它排在第一位，它的符号决定了图像开口向上还是向下。在求根和计算机代数中，把多项式归一化为首一形式可以简化求最大公因式、因式分解和结式的算法。