逆运算
nì yùn suàn
逆运算是彼此抵消的成对数学运算，例如加法与减法，或乘法与除法。
Definition
逆运算是彼此抵消、能够还原初始值的成对运算：加法与减法互为逆运算，乘法与除法也是，此外还有平方与开平方、乘方与对数。在方程两边使用逆运算能保持等式平衡，因为每一对逆运算都对应一对群（或环）运算；例如加法与其逆运算减法，就在整数集上定义了一个阿贝尔群结构。在群论中，每个元素 $a$ 都有一个逆元 $a^{-1}$，满足 $a \cdot a^{-1} = e$（单位元）；按相反次序应用逆运算来解方程，本质上就是复合反函数：若 $f(x) = ax + b$，则 $f^{-1}(y) = (y - b)/a$。逆运算在更高等的数学中进一步推广为反函数和逆矩阵。
Example
如果给一个数加上 $5$ 再减去 $5$，就会回到原来的数；在方程中，如果变量加上了 $5$，就要在两边同时减去 $5$ 来撤销它。求解 $4x = 28$，两边同时除以 $4$（乘以 $4$ 的逆运算）得到 $x = 7$；求解 $x^2 = 25$，两边同时开平方得到 $x = \pm 5$。求解矩阵方程 $Ax = b$ 时使用矩阵的逆，$x = A^{-1}b$，前提是 $A$ 可逆（$\det(A) \neq 0$），这把"两边同时除以某数"推广到了矩阵的情形。
Key Insight
逆运算是解方程的工具：每一个逆运算都能"撤销"施加在变量上的一步操作。逆元的存在正是区分群与半群的关键性质，也正因为如此，方程才能被"求解"，而不是只能被近似求得。