Rango Intercuartílico
El rango intercuartílico (IQR) es la diferencia entre el tercer y el primer cuartil, y mide la dispersión del 50% central de un conjunto de datos.
Formula
\text{IQR} = Q_3 - Q_1
Definition
El rango intercuartílico (IQR) mide la dispersión de la mitad central de un conjunto de datos: es la distancia entre el percentil 25 y el percentil 75, $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$. Es una medida robusta de variabilidad, no afectada por los valores atípicos, usada en los diagramas de caja y en la regla estándar de detección de valores atípicos: los valores por debajo de $Q_1 - 1.5 \cdot \text{IQR}$ o por encima de $Q_3 + 1.5 \cdot \text{IQR}$ se marcan como atípicos. Formalmente, $\text{IQR} = F^{-1}(0.75) - F^{-1}(0.25)$, donde $F^{-1}$ es la función cuantil; para una distribución normal, $\text{IQR} = 2(0.6745)\sigma$, aproximadamente $1.35\sigma$, lo cual permite estimar $\sigma$ a partir del IQR: $\hat{\sigma} = \text{IQR}/1.35$, la base de un estimador robusto de escala.
Example
Las calificaciones de examen ordenadas $60$, $65$, $70$, $75$, $80$, $85$, $90$, $95$ dan $Q_1 = 67.5$, $Q_3 = 87.5$, así que $\text{IQR} = 87.5 - 67.5 = 20$: la mitad central ($50\%$) de las calificaciones abarca $20$ puntos. Los precios de vivienda con $Q_1 = \$180K$ y $Q_3 = \$340K$ dan $\text{IQR} = \$160K$, con las cercas de valores atípicos en el límite inferior $= 180-240 = -\$60K$ (ningún valor atípico inferior es posible) y el superior $= 340+240 = \$580K$, así que cualquier casa por encima de $\$580K$ es un valor atípico. El IQR normalizado ($NIQR = \text{IQR}/1.35$) es un estimador robusto de $\sigma$ con $15\%$ de eficiencia asintótica respecto a $s$ para datos normales pero supera a $s$ para distribuciones de colas pesadas; la MAD (desviación absoluta mediana) es una alternativa aún más robusta.
Key Insight
El IQR es como el rango pero ignora los extremos, midiendo solo la dispersión de la mitad central para que los valores atípicos no lo afecten; es al rango lo que la mediana es a la media, ambas alternativas robustas que resisten la distorsión por valores extremos. Rousseeuw y Croux (1993) propusieron $S_n = 1.1926 \cdot \text{median}_i(\text{median}_j(|x_i-x_j|))$ como un estimador de escala altamente robusto con $58\%$ de eficiencia para datos normales, extendiendo las propiedades de robustez del IQR mientras mejora la eficiencia.