Punto de Inflexión
Un punto de inflexión es donde una curva cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo (o viceversa), marcando un cambio en la dirección de curvatura.
Formula
f''(c) = 0 \text{ and concavity changes}
Definition
Un punto de inflexión es donde una curva cambia su dirección de curvatura, pasando de curvarse hacia arriba (como un tazón) a curvarse hacia abajo (como una cúpula), o viceversa; no es necesariamente un pico o un valle. Formalmente, $f$ tiene un punto de inflexión en $c$ si $f''(c) = 0$ (o no está definida) y $f''$ cambia de signo ahí, así la concavidad de $f$ cambia; que $f''(c) = 0$ por sí solo no es suficiente, el signo realmente debe cambiar. En dimensiones superiores, existen curvas de inflexión (no puntos) donde la curvatura Gaussiana cambia de signo.
Example
Un camino en forma de S tiene un punto de inflexión en el medio donde deja de curvarse a la izquierda y empieza a curvarse a la derecha. Para $f(x) = x^3$: $f''(x) = 6x = 0$ en $x = 0$, y como $f'' < 0$ para $x<0$ y $f'' > 0$ para $x>0$, $x=0$ es un punto de inflexión; pero cuidado, $x^4$ tiene $f''(0)=0$ sin inflexión ahí porque $f''$ nunca cambia de signo. La función logística $f(x) = 1/(1 + e^{-x})$ tiene una inflexión en $x = 0$, el punto de máxima tasa de crecimiento en los modelos poblacionales logísticos (curva en S).
Key Insight
Un punto de inflexión es donde la curva cambia su "humor" de curvarse hacia arriba a curvarse hacia abajo, no donde alcanza un pico o un fondo. Los puntos de inflexión de una función de distribución acumulada corresponden a la moda de la densidad de probabilidad subyacente, lo cual los hace importantes en estadística y análisis de datos.