无穷级数
wú qióng jí shù
无穷级数是数列中无穷多项的和,它可能收敛于一个有限值,也可能发散。
Definition
无穷级数是按照某种模式把无穷多个数加起来所得到的结果；有时总和趋近于一个特定的有限数，有时则无限增长。严格地说，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 被定义为其部分和的极限：若 $\lim_{n \to \infty} S_n = L$，级数收敛于 $L$，否则发散；虽然各项 $a_n$ 必须趋于 $0$ 才能收敛，但这个条件本身并不充分。更一般地，无穷级数是一个形式表达式 $\sum a_n$，如果它的值存在，就是所在度量空间中 $\lim S_n$ 的值；在巴拿赫空间中，绝对收敛（$\sum \|a_n\| < \infty$）蕴含收敛，幂级数 $\sum a_n x^n$ 在 $\mathbb{C}$ 中的开圆盘上收敛，在收敛半径内表示一个解析函数。
Example
$1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots$ 一直延续下去，但和为 $2$；而 $1 + 1 + 1 + 1 + \ldots$ 也一直延续下去，但总和无限增长。$\sum 1/n^2 = 1 + 1/4 + 1/9 + \ldots$ 收敛于 $\pi^2/6 \approx 1.645$，但 $\sum 1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + \ldots$（调和级数）发散，尽管两者的各项都趋于 $0$。指数函数的幂级数 $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} x^n/n!$ 对所有 $x \in \mathbb{C}$ 都收敛，使得能够解析延拓，为复数 $z$ 定义 $e^z$，并与欧拉恒等式相联系。
Key Insight
把无穷多个东西加起来居然能得到一个有限的答案，这似乎不可能，但如果各项收缩得足够快，运行中的总和就会稳定下来；无穷级数是微积分（泰勒级数与麦克劳林级数用多项式表示函数）、傅里叶分析和物理学的基础，让我们能够精确计算像 $\pi$ 和 $e$ 这样的无理数的值。无穷级数的研究催生了现代实分析：柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼把收敛性形式化，从而消解了各种悖论，为微积分提供了严谨的基础。