不等号
bù děng hào
不等号是用来比较两个量的数学符号：小于（$<$）、大于（$>$）、小于或等于（$\le$）、大于或等于（$\ge$）、不等于（$\neq$）。
Definition
不等号用来表示两个数或表达式之间的比较关系。共有五个符号：$<$（严格小于）、$>$（严格大于）、$\le$（小于或等于）、$\ge$（大于或等于）、$\neq$（不等于）。在数轴上，$<$ 和 $>$ 用空心圆圈表示，因为边界值不包含在内；$\le$ 和 $\ge$ 用实心圆圈表示，因为边界值包含在内。更严格地说，不等号表达的是 $\mathbb{R}$ 这类有序域上的全序关系：全序满足三分律（$a < b$、$a = b$、$a > b$ 三者恰好有一个成立）、传递性（$a < b$ 且 $b < c$ 蕴含 $a < c$），并与加法、乘法相容；并非每个域都能被排序，例如 $\mathbb{C}$ 就无法与其域结构相容地排序，因为 $i^2 = -1$ 会破坏正锥的封闭性。
Example
$3 < 7$ 表示 $3$ 小于 $7$，$10 > 4$ 表示 $10$ 大于 $4$，$x \ge 5$ 表示 $x$ 至少为 $5$。画出 $x > 3$ 的图像时，在 $3$ 处用空心圆圈，箭头指向右方；画出 $x \le -1$ 的图像时，在 $-1$ 处用实心圆圈，箭头指向左方。在有序域 $\mathbb{R}$ 中，严格序 $<$ 定义为 $a < b$ 当且仅当 $b - a$ 是一个正实数，这一定义可以推广到有序域和有序环。
Key Insight
一个记忆小窍门：不等号就像一个箭头，或者一张鳄鱼的嘴，总是朝着较大的数张开。严格不等号（$<$、$>$）与非严格不等号（$\le$、$\ge$）的区别决定了边界点是否属于解集，这在最优化和实分析中都是需要留意的细节；而并非每个域都能被排序（例如 $\mathbb{C}$）这一事实，恰恰说明了 $\mathbb{R}$ 的有序结构有多么特殊。