Eventos Independientes
Los eventos independientes son eventos en los que el resultado de uno no afecta la probabilidad del otro.
Formula
P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B) \quad [\text{when } A \text{ and } B \text{ are independent}]
Definition
Los eventos independientes son eventos que no se afectan entre sí: saber que uno sucedió no te dice nada sobre si el otro sucedió. Los eventos $A$ y $B$ son independientes si $P(A \text{ and } B) = P(A)P(B)$, equivalentemente $P(A|B) = P(A)$, lo que significa que saber que $B$ ocurrió no cambia la probabilidad de $A$; la independencia debe verificarse a partir del contexto del problema o probarse matemáticamente, no simplemente asumirse. Formalmente, para una colección $\{A_1, \ldots, A_n\}$, la independencia mutua requiere $P(A_{i_1} \cap \ldots \cap A_{i_k}) = \prod P(A_{i_j})$ para todos los subconjuntos, y la independencia por pares no implica independencia mutua.
Example
Lanzar una moneda y lanzar un dado son independientes: obtener cara no cambia la probabilidad de sacar un $4$, así que $P(\text{heads AND rolling } 4) = 1/2 \times 1/6 = 1/12$. Sacar una carta, reemplazarla, y luego sacar otra vez mantiene los eventos independientes (la baraja se reinicia), mientras que sacar sin reemplazo los hace dependientes (la segunda extracción se ve afectada por la primera). Un ejemplo clásico de eventos independientes por pares pero no mutuamente independientes: lanza dos monedas justas ($X_1, X_2$) y define $X_3 = X_1 \oplus X_2$; entonces $X_1$, $X_2$, $X_3$ son independientes por pares pero $P(X_1=H, X_2=H, X_3=H) = 0 \neq P(X_1=H)P(X_2=H)P(X_3=H) = 1/8$, así que no son mutuamente independientes.
Key Insight
La independencia significa que puedes multiplicar probabilidades: si dos cosas son independientes, la probabilidad de "y" es simplemente las dos probabilidades individuales multiplicadas entre sí, pero la independencia es un supuesto de modelado, no algo observable en un solo ensayo, y debe justificarse por la estructura del experimento (por ejemplo, muestreo aleatorio con reemplazo). El supuesto i.i.d. (independiente e idénticamente distribuido) sustenta el TLC, la ley de los grandes números, y la mayoría de las propiedades de los estimadores; probar la independencia usa pruebas de chi-cuadrado para variables categóricas y pruebas basadas en correlación para variables continuas.