增函数与减函数
zēng hán shù yǔ jiǎn hán shù
函数在图形从左到右上升的地方是递增的,在图形下降的地方是递减的,由一阶导数的符号决定。
Formula
f'(x) > 0: \text{ increasing; } f'(x) < 0: \text{ decreasing}
Definition
如果输出随着向右移动而增大，函数在某区间上就是递增的；如果输出减小，函数就是递减的。严格地说，若 $a < b$ 蕴含 $f(a) < f(b)$，则 $f$ 在 $[a, b]$ 上（严格）递增；若 $f$ 可导，则 $(a, b)$ 上 $f' > 0$ 蕴含 $f$ 在那里递增，而 $f' < 0$ 蕴含递减，临界点把递增区间和递减区间分隔开。单调函数（处处非递减）至多有可数多个间断点，且是可测的。
Example
$f(x) = x^2$ 在 $x < 0$ 时递减（朝 $0$ 下坡），在 $x > 0$ 时递增（离开 $0$ 上坡）。对于 $f(x) = x^3 - 3x$：$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ 在 $(-\infty,-1)$ 和 $(1,\infty)$ 上为正（递增），在 $(-1,1)$ 上为负（递减）。反函数定理用到了这个思想：若 $f$ 连续可导且 $f'(a) \neq 0$，则 $f$ 在 $a$ 附近局部严格单调，从而保证存在局部反函数。
Key Insight
斜率（导数）的符号告诉你方向，正斜率意味着上升，负斜率意味着下降，识别递增和递减区间是画函数图形和解决最优化问题的关键步骤。单调函数在实分析（它们是黎曼可积的）、测度论（测度的分布函数）和序理论（偏序集之间的单调映射）中都居于核心地位。