不相容方程组
bù xiāng róng fāng chéng zǔ
不相容方程组没有解，因为各方程彼此矛盾，在图上对应着一组平行线。
Definition
不相容方程组没有解：无论尝试给变量赋什么值，都无法让所有方程同时成立。从图像上看，这对应于平行但不重合的直线，斜率相同但 y 轴截距不同；从代数上看，尝试求解该方程组会得出一个错误的陈述（例如 $0 = 5$ 或 $3 = 8$），这表明不存在解。严格地说，方程组 $Ax = b$ 不相容，当且仅当 $\text{rank}(A) < \text{rank}([A|b])$，即 $b$ 不在 $A$ 的列空间中；在最小二乘问题中，这样的不相容方程组会被正规方程 $A^TAx = A^Tb$ 取代，以求出使 $||Ax - b||^2$ 最小的最接近的近似解。
Example
$x + y = 3$ 与 $x + y = 7$ 说的是同样两个数之和既等于 $3$ 又等于 $7$，这是不可能的。用 $2x + y = 9$ 减去 $2x + y = 4$ 得到 $0 = -5$，这个错误的陈述确认了无解（两条直线斜率都是 $-2$，但截距不同）。对 $A = [[1,1],[1,1]]$，$b = [[3],[7]]$ 而言，$\text{rank}(A) = 1$，但 $\text{rank}([A|b]) = 2$：该方程组不相容，其最小二乘解使 $(x+y-3)^2 + (x+y-7)^2$ 最小，得到 $x + y = 5$。
Key Insight
"不相容"意味着"自相矛盾"，就像有人同时说"正在下雨"和"没有下雨"：这是不可能的，每当代数推导得出一个矛盾，代数其实是在诚实地告诉你不存在解。不相容方程组常见于超定问题，即方程数多于未知数的问题，例如回归分析中，最小二乘法用最小化残差平方来取代严格的相容性，从而求出一个有用的近似答案。