Sistema Inconsistente
Un sistema de ecuaciones inconsistente no tiene solución porque las ecuaciones se contradicen entre sí, lo que corresponde a líneas paralelas en una gráfica.
Definition
Un sistema inconsistente no tiene solución: sin importar qué valores pruebes para las variables, no puedes hacer verdaderas todas las ecuaciones a la vez. Gráficamente, esto corresponde a líneas paralelas pero distintas, que comparten la misma pendiente pero diferentes intersecciones con el eje y, y algebraicamente, al intentar resolver el sistema se produce un enunciado falso (como $0 = 5$ o $3 = 8$) que indica que no existe solución. Formalmente, un sistema $Ax = b$ es inconsistente exactamente cuando $\text{rank}(A) < \text{rank}([A|b])$, lo que significa que $b$ no está en el espacio columna de $A$; en los problemas de mínimos cuadrados, tal sistema inconsistente se reemplaza por las ecuaciones normales $A^TAx = A^Tb$ para hallar la solución aproximada más cercana, minimizando $||Ax - b||^2$.
Example
$x + y = 3$ y $x + y = 7$ afirman que los mismos dos números suman tanto $3$ como $7$, lo cual es imposible. Al restar $2x + y = 4$ de $2x + y = 9$ se obtiene $0 = -5$, un enunciado falso que confirma que no hay solución (ambas líneas tienen pendiente $-2$ pero diferentes intersecciones). Para $A = [[1,1],[1,1]]$, $b = [[3],[7]]$, $\text{rank}(A) = 1$ pero $\text{rank}([A|b]) = 2$: el sistema es inconsistente, y su solución de mínimos cuadrados minimiza $(x+y-3)^2 + (x+y-7)^2$, dando $x + y = 5$.
Key Insight
Inconsistente significa "que se contradice," como alguien diciendo "está lloviendo" y "no está lloviendo" al mismo tiempo: imposible, y cada vez que el álgebra lleva a una contradicción, el álgebra te está diciendo honestamente que no existe solución. Los sistemas inconsistentes son comunes en problemas sobredeterminados, más ecuaciones que incógnitas, como en la regresión, donde los mínimos cuadrados reemplazan la consistencia exacta minimizando el residuo al cuadrado para encontrar una respuesta aproximada útil.