Definition

虚数单位 $i$ 被定义为 $-1$ 的平方根，满足 $i^2 = -1$：由于没有实数的平方等于 $-1$，$i$ 是扩展实数系统所得到的一种新的数，尽管"虚"这个名字容易引起误解，$i$ 和其他任何数一样，都是有效的数学对象，只是在复数被完全理解之前曾遭到历史上的不信任。它的幂次循环：$i^0=1$，$i^1=i$，$i^2=-1$，$i^3=-i$，$i^4=1$，然后重复，$i^n$ 可以由 $n \bmod 4$ 求出；它让我们能够表示负数的平方根，$\sqrt{-a} = i\sqrt{a}$（$a > 0$）。用代数语言说，$i$ 是 $\mathbb{R}$ 上不可约多项式 $x^2 + 1$ 的一个根，域 $\mathbb{C} = \mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ 是添加这个根后得到的域扩张；等价地，$\mathbb{C}$ 也可以表示为形如 $\begin{bmatrix}a & -b\\b & a\end{bmatrix}$ 的 $2\times 2$ 实矩阵，其中 $i$ 对应于 $\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{bmatrix}$。