Hipotenusa
La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo, ubicado frente al ángulo recto.
Formula
c = \sqrt{a^2 + b^2}
Definition
La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo, el que está directamente enfrente del ángulo recto (la esquina con el pequeño cuadrado). Su longitud $c$ se halla a partir de los dos catetos $a$ y $b$ usando el teorema de Pitágoras, $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, una relación que se deriva de la métrica euclidiana. En el círculo unitario, la hipotenusa del triángulo de referencia siempre es $1$, lo que hace que $\sin(t)$ y $\cos(t)$ sean directamente los catetos, y explica por qué $\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$.
Example
En un triángulo con lados $3$, $4$ y $5$, el lado de longitud $5$ es la hipotenusa porque está frente a la esquina de $90$ grados; de igual manera, un triángulo con catetos $5$ y $12$ tiene hipotenusa $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$. En el plano complejo, el módulo $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ para $z = a + bi$ es precisamente la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por la parte real y la parte imaginaria, una relación que se generaliza a espacios con producto interno mediante $||v||^2 = \langle v, v \rangle$.
Key Insight
Sin importar cómo voltees o rotes un triángulo rectángulo, la hipotenusa siempre es el lado opuesto al ángulo recto, y sirve como denominador tanto en la razón del seno como en la del coseno: $\sin = \text{opposite}/\text{hypotenuse}$ y $\cos = \text{adjacent}/\text{hypotenuse}$. También se conecta con el teorema de la media geométrica de la altura, que relaciona la altura y los segmentos que crea sobre la hipotenusa, un resultado con profundas implicaciones en la geometría proyectiva.