全局极值
quán jú jí zhí
全局极值是函数在整个定义域或某个闭区间上所能取得的绝对最高值(全局最大值)和绝对最低值(全局最小值)。
Definition
全局最大值是整张图形上唯一的最高点，全局最小值是唯一的最低点，它们是所有取值中的冠军，而不仅仅是某个局部邻域内的胜者。极值定理保证：任何在闭且有界（紧致）区间或集合上连续的函数，都必定同时取得全局最大值和全局最小值；要找到它们，需要在所有临界点以及区间端点处对 $f$ 求值。在开区间或无界定义域上，全局极值可能不存在。
Example
在地球所有山脉的地图上，珠穆朗玛峰是海拔的全局最大值，马里亚纳海沟是全局最小值。对于 $[-2, 2]$ 上的 $f(x) = x^3 - 3x$：$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$ 在 $x = \pm 1$ 处成立；检验 $f(-2) = -2$、$f(-1) = 2$、$f(1) = -2$、$f(2) = 2$，得到全局最大值 $2$ 和全局最小值 $-2$。相比之下，$(0, 1)$ 上的 $f(x) = x$ 是连续的，但没有全局最大值或最小值，因为该区间是开区间。
Key Insight
全局极值胜过整个定义域中的每一个取值，而局部极值只胜过附近的取值，所以务必检查端点，闭区间上的全局极值往往就出现在端点，而不是内部的临界点。紧致性是保证全局极值存在的关键结构条件，这也是把无约束问题转化为紧致可行集上的约束问题这一实用技巧的动机所在，可通过拉格朗日乘数法或动态规划来处理。