微积分基本定理
wēi jī fēn jī běn dìng lǐ
微积分基本定理把求导和积分联系起来,说明二者互为逆运算,并给出了求定积分值的方法。
Formula
\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)
Definition
微积分基本定理是把两个看似不同的概念，导数（变化率）和积分（面积），联系起来的重大发现，说明积分与求导互为逆运算，就像乘法与除法一样。第一部分：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $G(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ 可导，且 $G'(x) = f(x)$。第二部分：若 $F$ 是 $f$ 的任意一个原函数，则 $\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$。这一定理通过斯托克斯定理 $\iint_M d\omega = \int_{\partial M} \omega$ 远远超越了一维情形而得到推广，它统一了微积分基本定理、格林定理、散度定理和经典的斯托克斯定理，说明导数 $d$ 与边界算子 $\partial$ 是伴随算子。
Example
要求 $\int_1^4 2x\, dx$，求出原函数 $F(x) = x^2$，再相减：$F(4) - F(1) = 16 - 1 = 15$，不需要画矩形。第一部分的应用：$d/dx[\int_0^x \sin(t)\, dt] = \sin(x)$。第二部分的应用：$\int_0^{\pi/2} \cos(x)\, dx = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1$。在一维情形下，斯托克斯定理退化为 $\int_a^b F'(x)\, dx = F(b) - F(a)$，也就是微积分基本定理本身。
Key Insight
正是这条定理让你不必再画矩形，只需使用原函数即可，它是微积分两大部分之间的桥梁。第一部分说明每个连续函数都有原函数，即使你无法用初等函数把它写出来，而第二部分让实际计算变得可行。微积分基本定理是微分几何中最深刻定理的一维情形，多元微积分中每一个"分部积分"或"换元"公式，最终都可以追溯到 $d$ 与 $\partial$ 之间的这种对偶关系。