函数
hán shù
函数是一种规则,为每一个输入值指定唯一确定的一个输出值。
Definition
函数就像一台机器：输入一个值，总能得到唯一确定的一个输出。严格地说，函数是输入的集合（定义域）与输出的集合（值域）之间的一种对应关系，使得定义域中的每一个元素都恰好对应值域中唯一一个元素；更精确地说，函数 $f: A \to B$ 是笛卡尔积 $A \times B$ 的一个子集，使得对每一个 $a \in A$，都恰好存在一个 $b \in B$ 满足 $(a, b) \in f$，其中 $A$ 是定义域，$B$ 是陪域（上域）。
Example
自动售货机是一个很好的类比：按下 B3 键，你总会得到同一种零食，而不会随机得到两种不同的东西。用代数式来说，$f(x) = x^2$ 是一个函数，因为输入 $3$ 总是给出输出 $9$；而关系 $y^2 = x$ 不是函数，因为当 $x = 4$ 时，$y = 2$ 和 $y = -2$ 都成立。由 $f(x) = \sin(x)$ 定义的函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 把每一个实数映射到 $[-1, 1]$ 中的一个值，所以它的值域（像）是 $[-1, 1]$，是陪域 $\mathbb{R}$ 的一个真子集。
Key Insight
关键规则是"一个输入对应一个输出"：如果一个输入可能产生两个不同的输出，这个关系就不是函数。函数可以用方程、表格、图像或映射来表示，在图像上，竖线检验法可以直观地检验这条规则，如果任意一条竖直线与图像相交超过一次，它就不是函数。这个概念是整个数学的基础：范畴论把函数推广为态射，用以刻画抽象对象之间保持结构的映射。