因式分解
yīn shì fēn jiě
因式分解是把一个多项式改写为若干较简单表达式（其因式）之积的过程，是乘法的逆运算。
Definition
因式分解是指把一个多项式拆解成若干个较小的部分，这些部分相乘能还原出原来的多项式，是乘法的逆运算。第一步总是先提取最大公因式（GCF），然后寻找特殊模式，例如平方差、完全平方三项式，或用分组法分解。严格地说，对 $F[x]$ 中的多项式 $f$ 进行因式分解，是指把它写成 $f = c \cdot p_1^{e_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k}$，其中 $c$ 是常数，每个 $p_i$ 都是首一不可约多项式；在 $\mathbb{Q}$ 上，这种分解是唯一的，在 $\mathbb{C}$ 上，每个非常数多项式都能完全分解为一次因式（代数基本定理），而在 $\mathbb{R}$ 上，不可约因式的次数为 $1$ 或 $2$。
Example
因式分解 $x^2 + 5x + 6$：由于 $2 \cdot 3 = 6$ 且 $2 + 3 = 5$，答案是 $(x + 2)(x + 3)$。因式分解 $3x^3 - 12x$：最大公因式为 $3x$，得到 $3x(x^2 - 4)$，而 $x^2 - 4$ 是平方差，所以完整分解为 $3x(x+2)(x-2)$。$x^4 - 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上分解为 $(x-1)(x+1)(x^2+1)$，在 $\mathbb{C}$ 上分解为 $(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)$。
Key Insight
因式分解就像"逆向乘法"：正如 $12 = 3 \cdot 4$ 一样，许多多项式也能分解成因式，而因式分解的形式直接揭示了多项式的零点，若 $f(x) = (x-2)(x+3)$，其零点为 $x = 2$ 和 $x = -3$，这使因式分解成为求解多项式方程的基础。多项式环中的唯一分解性映照着整数中的素因数分解，而伽罗瓦理论回答了哪些多项式可以用根式分解，把因式分解与群论以及群的可解性联系了起来。