提取最大公因式
tí qǔ zuì dà gōng yīn shì
提取最大公因式是指把多项式各项中的最大公因式提取出来，作为因式分解的第一步。
Definition
提取最大公因式是指找出能整除每一项的最大公因式（利用系数的最大公因数以及每个变量共有的最低次幂），并把它提到前面，剩下的多项式不再有公因式。这一步应当总是在尝试其他任何因式分解方法之前先做，因为它能简化后续的一切。从环论角度看，这相当于提取多项式各项所生成理想的所有生成元的最大公因数；在 $\mathbb{Z}[x]$ 中，最大公因式既包括系数的整数最大公因数（称为容度），也包括各项的多项式最大公因式，高斯引理指出，本原多项式（容度为 $1$）之积仍是本原多项式，所以容度具有乘性。
Example
$6x^2 + 9x$：$6$ 和 $9$ 的最大公因数是 $3$，且两项都至少含有 $x^1$，所以最大公因式为 $3x$，得到 $3x(2x + 3)$。$12x^4 - 8x^3 + 4x^2$：最大公因式为 $4x^2$，得到 $4x^2(3x^2 - 2x + 1)$。$15x^3y + 10x^2y^2 - 5xy^3$：最大公因式为 $5xy$，得到 $5xy(3x^2 + 2xy - y^2)$，剩下的三项式还能进一步分解为 $(3x - y)(x + y)$。
Key Insight
如果不先提取最大公因式，就得处理更大的数字，也会错过更简单的形式，很多题目一旦提取出最大公因式就变得非常简单。容度与本原多项式的分解 $c(f) \cdot f_{\text{prim}}$ 是 $\mathbb{Z}[x]$ 中多项式的典范分解形式，因式分解算法正是依赖同样的两步过程：先提取容度，再对本原部分进行因式分解。