表达式与方程的区别
biǎo dá shì yǔ fāng chéng de qū bié
表达式是没有等号、可以求值的数学短语；方程是说明两个表达式相等、可以求解的陈述。
Definition
表达式是没有等号的数学短语，而方程是带有等号、说明两者相等的陈述；表达式可以化简，但方程需要求解，等号就是二者的分界线。表达式是数字、变量和运算的组合，不含关系符号，而方程断言两个表达式相等，关键区别始终在于：表达式被求值或化简，方程被求解出变量的值。在形式逻辑中，表达式（或项）是由变量、常数和函数符号构成的句法对象，而方程是断言两个项相等的公式 $P = Q$，相对于某个解释具有真值；表达式被解释（映射到数值），方程被验证（证明为真或假），这一区别是泛代数和模型论的基础。
Example
$3x + 7$ 是一个表达式；$3x + 7 = 16$ 是一个方程。表达式无法被"求解"，因为没有什么可求的，但可以对它求值或化简。表达式：$2(x + 3) - x$ 化简为 $x + 6$；方程：$2(x + 3) - x = 10$ 求解过程是先得到 $x + 6 = 10$，再得到 $x = 4$。在泛代数中，一个项 $t(x_1, \ldots, x_n)$ 是一个表达式，而恒等式是一个对某代数结构中所有元素都成立的方程 $t_1 = t_2$；交换律 $x + y = y + x$ 就是一个在所有阿贝尔群中都成立的恒等式。
Key Insight
等号就是分界线：没有等号就是表达式，有等号就是方程，一个被化简，另一个被求解。一个常见的错误是在"化简"表达式时随手加上等号，无意中造出一个错误的方程，所以千万不要在各个化简步骤之间连续使用等号。伯克霍夫定理指出，一类代数结构可以用一组恒等式（方程）来定义，当且仅当它在同态像、子代数和直积运算下封闭，这是等式逻辑的基石。