Exponente
Un exponente es un número que indica cuántas veces se multiplica una base por sí misma.
Formula
b^n = b \times b \times \ldots \times b \ (n \text{ times})
Definition
Un exponente indica cuántas veces multiplicar un número por sí mismo, escrito como un número pequeño arriba y a la derecha de la base. Para una base real $b$ y un exponente entero positivo $n$, $b^n = b \times b \times \ldots \times b$ ($n$ factores), con reglas extendidas $b^0 = 1$ (para $b \neq 0$), $b^{-n} = 1/b^n$, y $b^{1/n} = $ la raíz $n$-ésima de $b$, siguiendo leyes como $b^m \times b^n = b^{m+n}$ y $(b^m)^n = b^{mn}$. Para $b > 0$ real y exponente real $r$, $b^r$ se define de manera más general mediante la función exponencial, $b^r = e^{r \ln b}$, extendiendo la exponenciación a todos los exponentes reales (y complejos); $e^x$ en sí es la única función que satisface $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$ y $e^0 = 1$, haciéndola central en el análisis.
Example
$2^4$ significa $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$: la base es $2$ y el exponente es $4$, leído "dos a la cuarta potencia". $3^5 = 243$, $5^0 = 1$, $2^{-3} = 1/8$, y $2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$ muestra la regla de que multiplicar potencias de la misma base suma los exponentes. La fórmula de Euler, $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$, da $e^{i\pi} + 1 = 0$, conectando las cinco constantes más importantes de las matemáticas.
Key Insight
Los exponentes son un atajo para la multiplicación repetida, así como la multiplicación es un atajo para la suma repetida; $2^{10} = 1{,}024$ tardaría mucho en escribirse como multiplicación repetida. La regla $b^m \times b^n = b^{m+n}$ significa que los exponentes convierten la multiplicación en suma, la idea clave detrás de los logaritmos, $\log(xy) = \log(x) + \log(y)$. El crecimiento exponencial gobernado por $b^n$ ($b > 1$) es la base del interés compuesto, los modelos de población, la desintegración radiactiva ($b < 1$), y la propagación de infecciones: todo lo que "se duplica a una tasa fija" está gobernado por un exponente.