通项公式
tōng xiàng gōng shì
通项公式可以直接利用项数计算出数列中的任意一项,而不需要用到前面的项。
Definition
通项（或封闭形式）公式让你可以通过代入项数直接求出数列的任意一项，而不需要知道前面的各项：对等差数列，$a_n = a_1 + (n-1)d$；对等比数列，$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$，二者都是从递推规则推导出来的，但计算时不需要迭代。更一般地，通项公式纯粹用 $n$ 来表示数列的一般项 $a_n$；对于线性递推，特征根法能给出涉及特征多项式的根的通项公式，但并非所有递推数列都有初等的封闭形式，例如分拆函数 $p(n)$。
Example
对于数列 $3, 7, 11, 15, \ldots$，通项公式是 $a_n = 4n - 1$，所以第 $100$ 项是 $a_{100} = 4(100) - 1 = 399$，无需列出全部 $100$ 项。对于 $2, 5, 8, 11, \ldots$，$a_1 = 2$，$d = 3$：通项公式是 $a_n = 3n - 1$，第 $200$ 项是 $599$。前 $n$ 个正整数之和的通项公式 $S_n = n(n+1)/2$ 可以用数学归纳法或高斯配对法证明，对任意 $n$ 都能立即求值。
Key Insight
通项公式就像一条捷径：不用一项一项地推到第 $50$ 项，一次计算就能直达目标；把递推公式转化为通项公式是一项关键技能，它揭示出等差数列关于 $n$ 是线性的，而等比数列关于 $n$ 是指数的。封闭形式公式的存在性并不是理所当然的：判断一个递推定义的数列是否存在封闭形式，是符号计算中的一个深刻问题，与 D-有限数列理论以及刘维尔关于有限项积分的定理有关。