展开式
zhǎn kāi shì
展开式是按照位值把一个数写成各数字所代表价值之和的一种方式。
Definition
展开式是指把一个数拆开，展示出每个数字所代表的价值，把每部分单独写成其对应的值，再把它们全部加起来。它把一个数码表示为若干乘积之和，每个乘积都是一个数字乘以其位值：对于一个 $4$ 位数 $abcd$，展开式为 $a \times 1000 + b \times 100 + c \times 10 + d \times 1$。更一般地，展开式就是把 $b$ 进制下的数码显式地进行多项式求值，$n = \sum_{k=0}^{m} d_k \cdot b^k$，这可以推广到任意进制以及小数位（$k < 0$ 的位置）。
Example
$4{,}352$ 的展开式是 $4{,}000 + 300 + 50 + 2$。$70{,}405 = 7 \times 10{,}000 + 0 \times 1{,}000 + 4 \times 100 + 0 \times 10 + 5 \times 1 = 70{,}000 + 400 + 5$，其中值为零的位通常会被省略。二进制数 $1011$ 的展开式为 $1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$（十进制），无论采用哪种进制，都是同样的多项式结构在起作用。
Key Insight
展开式就像打开一个行李箱：把每个数字都取出来，展示它究竟携带着多少价值，也揭示了为什么进位加法能够成立，因为"进位"其实就是把 $10$ 个"一"重新组合成 $1$ 个"十"。在代数中，这种结构启发了多项式环及求值同态的定义：理解 $n = 10a + b$（一个两位数）这样的表达，使得整除性证明、数根计算和进位算法都能从最基本的原理出发得到证明。