求函数值
qiú hán shù zhí
求函数值是指将一个具体的输入值代入函数,以求出对应的输出值。
Definition
求函数值是指把一个具体的输入值，可以是一个数、一个变量或一个代数表达式，代入函数法则中变量所在的位置，即通过把每一处出现的变量都替换为 $a$ 来计算 $f(a)$。在类型论中，求值 $f(a)$ 就是 β 归约；在数值分析中，如何高效地求复杂函数的值（例如用霍纳法处理多项式）是计算精度的一个关键问题。
Example
若 $f(x) = 5x - 2$，则 $f(4) = 5(4) - 2 = 18$。已知 $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$：$f(-2) = 2(-2)^2 - 3(-2) + 1 = 15$，而 $f(x + h) = 2x^2 + 4xh + 2h^2 - 3x - 3h + 1$。霍纳法将 $p(x) = a_n x^n + \ldots + a_0$ 写成 $((\ldots((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + \ldots + a_0)$ 的形式求值，把 $n^2$ 次乘法减少为 $n$ 次。
Key Insight
求函数值其实就是仔细的代入：把每一个 $x$ 替换为输入值，再化简，每一步都遵循运算顺序。求 $f(x + h)$ 的值并化简 $[f(x + h) - f(x)] / h$，正是微积分中导数概念（差商）的基础。符号求值与数值求值是不同的：符号求值以代数方式操作表达式，而数值求值给出浮点近似值，二者在精度与速度之间各有取舍。