估算
gū suàn
估算是找出一个足够接近准确答案、适用于特定目的的近似值的过程。
Definition
估算是指在不进行全部精确计算的情况下，找出一个接近准确答案的结果，在近似答案已经足够好用的场合非常实用。它通常的做法是先把输入数值舍入为方便计算的数，再进行运算：首位估算法（舍入到最高位）速度快但精度较低，而相容数估算法则使用能整除或分解得很好的相近数。在分析学和数值方法中，估算更正式的含义是给出近似值误差的界，形式为 $|f(x) - \text{approx}| \le C$（$C$ 为某常数），或渐近估计如 $f(n) = O(g(n))$，一个估计的优劣由其紧密程度和计算成本来评判。
Example
你想知道 $\$12.75 + \$9.45$ 是否在你 $\$25$ 的预算之内：估算 $\$13 + \$9 = \$22$ 就能告诉你答案是肯定的，而无需算出精确值。把 $392 \times 48$ 舍入为 $400 \times 50 = 20{,}000$ 来估算；实际答案是 $18{,}816$，估算值高出约 $6\%$，作为快速检验是可以接受的，估算也可以用来发现运算错误：如果计算器显示 $392 \times 48 = 1{,}881.6$，那么 $20{,}000$ 这一估算值会立即暴露出小数点位置的错误。斯特林近似公式 $n! \sim \sqrt{2\pi n} \cdot (n/e)^n$，对 $n=10$ 给出 $3{,}598{,}696$，而真实值 $10! = 3{,}628{,}800$，相对误差不到 $0.1\%$。
Key Insight
善于估算的人会把数舍入为容易心算的数；估算体现的是良好的数感，而不是偷懒，它也是发现运算错误的可靠方法。费米估算，即从最基本的原理出发估计未知量的技能（例如"芝加哥有多少位钢琴调音师？"），是物理学、工程学和数据科学中的核心工具，能培养数量直觉和数量级思维。