Fracciones Equivalentes
Las fracciones equivalentes son fracciones distintas que nombran el mismo valor o representan la misma porción de un todo.
Formula
\frac{a}{b} = \frac{an}{bn} \text{ for any nonzero } n
Definition
Las fracciones equivalentes se ven diferentes pero significan la misma cantidad: si cortas un sándwich en $2$ piezas y tomas $1$, o lo cortas en $4$ piezas y tomas $2$, tienes la misma cantidad, así que $1/2$ y $2/4$ son equivalentes. Formalmente, dos fracciones $a/b$ y $c/d$ son equivalentes si y solo si $ad = bc$ (sus productos cruzados son iguales), lo cual equivale a decir que se reducen a la misma fracción en su mínima expresión. Esta equivalencia es el fundamento formal del sistema de números racionales: las fracciones equivalentes son elementos de la misma clase de equivalencia en $\mathbb{Q} = (\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \{0\})) / \sim$, donde $(a, b) \sim (c, d)$ si y solo si $ad = bc$, y el representante canónico (mínima expresión) usa el MCD para normalizar.
Example
$1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8$; puedes comprobarlo doblando papel, doblar por la mitad sombrea $1/2$, doblar de nuevo para obtener cuartos sombrea $2/4$, y el área sombreada es idéntica. Para comprobar si $4/6$ y $10/15$ son equivalentes, compara los productos cruzados: $4 \times 15 = 60$ y $6 \times 10 = 60$, así que son equivalentes (ambas se reducen a $2/3$). La clase de equivalencia de $2/3$ contiene $(2,3)$, $(4,6)$, $(-2,-3)$, $(6,9)$, $(100,150)$, y así sucesivamente; dos representantes cualesquiera $(a,b)$ y $(c,d)$ cumplen la prueba de producto cruzado $ad = bc$, y el representante normalizado por el MCD es el único par $(a/\gcd, b/\gcd)$ con $b/\gcd > 0$.
Key Insight
Siempre puedes crear una fracción equivalente multiplicando o dividiendo tanto el numerador como el denominador por el mismo número, como hacer zoom sobre la misma rebanada de pizza: más cortes, la misma cantidad de pizza. Las fracciones equivalentes son en realidad solo distintos nombres para el mismo número racional, el número $2/3$ tiene infinitos nombres de fracción ($2/3$, $4/6$, $6/9$, $-2/-3$, etc.), y la mínima expresión funciona como el representante "oficial". Esta construcción por clases de equivalencia es un caso de localización en teoría de anillos ($\mathbb{Q} = \mathbb{Z}$ localizado en $S = \mathbb{Z} \setminus \{0\}$), la misma técnica que construye los racionales $p$-ádicos, los cuerpos de funciones y los haces en geometría algebraica, lo que hace de las fracciones equivalentes el caso más simple de una construcción algebraica universal.