棱
léng
棱是三维立体图形中两个面相交而成的线段。
Definition
棱是三维图形两个平面相交的地方，是它们之间角落上的一条直线；正方体有 $12$ 条棱。严格地说，棱是多面体两个相邻面相交所形成的线段，每条棱恰好被两个面共享；对于凸多面体，欧拉公式 $F + V - E = 2$ 约束了面、顶点和棱之间的关系，所以一旦知道面数和顶点数，就总能算出 $E = F + V - 2$。用CW复形的语言来说，棱是一个1胞腔，是由恰好两个顶点界定的1维面，凸多面体的棱图（1骨架）恒是3连通的（施泰尼茨定理），意味着删去任意两个顶点都无法使其断开连接。
Example
想象一个纸箱：每一条两面相交的折线就是一条棱，正方体有 $12$ 条（顶面 $4$ 条、底面 $4$ 条、竖直方向 $4$ 条）。三棱柱有 $9$ 条棱：顶部三角形 $3$ 条、底部三角形 $3$ 条、竖直方向 $3$ 条，用欧拉公式核对：$F=5$，$V=6$，$E=9$；$5 + 6 - 9 = 2$。彼得森图不能作为任何凸多面体的棱图；施泰尼茨定理给出了充要条件，一个图当且仅当是3连通且平面的，才能实现为凸多面体的骨架。
Key Insight
棱连接顶点（角），并分隔各个面；对于任意简单多面体（无孔洞），欧拉示性数 $F + V - E$ 恒等于 $2$，而对于环面（甜甜圈形状），它等于 $0$。施泰尼茨定理在组合几何中是基础性的，它完全用纯图论的语言刻画了凸多面体，说明拓扑与组合学共同决定了哪些三维形状是可能的。