双数线
shuāng shù xiàn
双数线是由两条平行数线组成的图示，用来表示并求出等值比或等值比率。
Definition
双数线是两条平行画出的数线，两条线上的$0$对齐，其中一条线上的每个刻度都与另一条线上对应的刻度配对，以展示两个量之间的关系。形式上，它把等值比展示为两条平行线上对齐的数对，两条线上均匀但间距不同的刻度反映了这两个量之间的比；它可以求出比例关系中的缺失值，并确定单位比率，即与另一条线上的$1$对齐的那个值。双数线表示双射$f(x) = kx$（比例常数为$k$的比例关系），两条平行线充当这个线性映射的定义域和值域，把笛卡尔平面中的直线$y=kx$"展开"成两条平行的坐标轴。
Example
对于一个用$2$杯面粉配$3$杯糖的食谱，画出两条平行线，面粉：$0, 2, 4, 6, 8$，糖：$0, 3, 6, 9, 12$，直接展示等值比，$4$份面粉配$6$份糖，$8$份面粉配$12$份糖，不需要每次都重新计算。一辆车$2$小时行驶$75$英里，其双数线是小时数（$0,1,2,3,4$）对英里数（$0, 37.5, 75, 112.5, 150$），揭示出每小时$37.5$英里的单位比率，并让你可以延伸到$5$小时对应$187.5$英里。对于$1$美元$= 1.36$加元的汇率，双数线美元（$0,1,5,10,20$）对加元（$0, 1.36, 6.80, 13.60, 27.20$）在两个方向上都展示了线性映射$f(x)=1.36x$，其中$f^{-1}(y) = y/1.36$可以换算回来。
Key Insight
双数线让你无需逐一计算就能读出等值比：两条线以不同的速度增长（这就是比），但始终保持同步，就像乘法和比例关系一样。它使单位比率在视觉上显而易见，也就是第二条线上与第一条线上的$1$对齐的那个值，把图延伸到新的值等价于求解一个比例式，尽管视觉模型让这个过程更加直观。双数线是$1$维线性变换的离散表示；在更高维度中，类似的对象是矩阵，双数线的教学力量来自于在引入形式函数记号之前，让函数概念，即输入-输出配对，变得具体而空间化。