点积（数量积）
diǎn jī (shù liàng jī)
两个向量的点积是把对应分量相乘再求和,得到一个编码了两向量夹角信息的标量。
Formula
u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + \ldots = |u||v|\cos(\theta)
Definition
点积把两个向量相乘，得到一个单一的数（标量）：把对应分量相乘，然后全部相加。严格地说，对于 $u = (u_1, \ldots, u_n)$ 和 $v = (v_1, \ldots, v_n)$：$u \cdot v = \sum u_i v_i$，等价地 $u \cdot v = |u||v|\cos(\theta)$，其中 $\theta$ 是两向量之间的夹角；若 $u \cdot v = 0$，则两向量正交（垂直）。更抽象地说，点积在 $\mathbb{R}^n$ 上定义了一个内积：双线性、对称且正定，而内积空间把这一概念推广到抽象的向量空间，使长度、角度和正交性的定义得以建立；在量子力学中，内积 $\langle \psi | \phi \rangle$ 给出了在不同状态之间跃迁的概率幅。
Example
对于 $u = (3, 4)$ 和 $v = (1, 2)$：$u \cdot v = 3 \times 1 + 4 \times 2 = 11$，是一个数，不是向量。对于 $u = (1, 1)$ 和 $v = (2, 2)$：$u \cdot v = 4$，$|u| = \sqrt{2}$，$|v| = 2\sqrt{2}$，所以 $\cos(\theta) = 4/4 = 1$，意味着两向量平行（$\theta = 0$）。在 $L^2([a,b])$ 中，内积 $\langle f,g \rangle = \int f(x)g(x)\, dx$ 定义了一个希尔伯特空间，傅里叶系数就是点积，$c_n = \langle f, e_n \rangle$，其中 $e_n = e^{2\pi i n x}$。
Key Insight
点积告诉你两个向量"指向同一方向"的程度；如果它是零，两向量就垂直，而公式 $u \cdot v = |u||v|\cos(\theta)$ 是高维空间中角度定义的基础，为向量投影提供了动力：$\text{proj}_v u = (u \cdot v / |v|^2) v$。柯西-施瓦茨不等式 $|u \cdot v| \le |u||v|$（当且仅当平行时取等号）是内积空间中最基本的不等式，是三角不等式、量子力学中的不确定性原理以及统计学中相关性界限的基础。