函数的定义域
hán shù de dìng yì yù
函数的定义域是使该函数有意义的所有可能输入值组成的完整集合。
Definition
定义域是一个函数所有允许输入值组成的集合，也就是你可以代入的每一个 $x$ 值，使得函数能产生一个实数且有意义的输出。常见的限制包括：分母不能为零，偶次根号下的表达式必须非负。严格地说，对于函数 $f: A \to B$，定义域就是集合 $A$；在分析学中，一个实值函数的自然定义域是使该表达式有意义的 $\mathbb{R}$ 的最大子集，而对于复变函数，定义域可以扩展到 $\mathbb{C}$ 的子集，解析延拓还能将其进一步扩展。
Example
可以把定义域想象成一场聚会的宾客名单：只有名单上的人才能进场并获得一个输出。对于函数"$x$ 的算术平方根"，你只能代入 $0$ 或正数，所以定义域是所有大于或等于 $0$ 的数。对于 $f(x) = 1/(x - 3)$，$x$ 不能等于 $3$（否则除以零），所以定义域是除 $3$ 以外的所有实数，记作 $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$；对于 $g(x) = \sqrt{x + 2}$，需要 $x + 2 \ge 0$，即 $x \ge -2$，定义域是 $[-2, \infty)$。伽玛函数把阶乘推广到除非正整数以外的所有复数，说明定义域这一概念远远超出初等函数的范围。
Key Insight
当题目没有说明定义域时，默认为自然定义域，即使该表达式有意义的最大实数集合。在拓扑学中，定义域携带一种拓扑结构，连续性、可微性与可积性等性质都是相对于定义域而言的。