发散
fā sàn
当数列或级数的各项(或部分和)不趋近于一个有限极限时,称它发散。
Definition
当运行中的总和不趋近于一个固定的数时，这个级数就发散：它可能无限增长、无限缩小，或者振荡而不稳定下来。发散的类型包括无界增长（$1 + 2 + 3 + \ldots$）、振荡（$1 - 1 + 1 - \ldots$），或有界但不收敛的行为；对等比级数而言，当 $|r| \ge 1$ 时发散。严格地说，级数 $\sum a_n$ 发散，如果它的部分和在给定的拓扑下不收敛；不过一些正规求和法（切萨罗求和、阿贝尔求和、拉马努金求和）仍能以自洽的方式为某些发散级数赋值，从而扩展了"和"的概念，其中拉马努金求和著名地给出 $1 + 2 + 3 + \ldots = -1/12$，这在 zeta 函数正规化的背景下是有意义的。
Example
$1 + 2 + 3 + 4 + \ldots$ 发散，因为和一直无限增长；$1 - 1 + 1 - 1 + \ldots$ 也发散，因为部分和在 $0$ 和 $1$ 之间振荡，从不稳定下来。调和级数 $1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + \ldots$ 尽管各项趋于 $0$ 仍然发散：把各项分组为 $1 + (1/2) + (1/3+1/4) + (1/5+\ldots+1/8) + \ldots$，可以看出每一组都超过 $1/2$，所以和无界。在弦理论和量子场论中，zeta 正规化为发散级数赋予有限的值以提取物理预言，例如 $\zeta(-1) = -1/12$ "求和"了自然数。
Key Insight
发散意味着"没有落脚点"：运行中的总和从未锁定在某个特定的数上，所以并非每一个无穷加法问题都有答案。发散判别法指出，如果 $\lim a_n \neq 0$，级数必定发散；但如果 $\lim a_n = 0$，级数可能收敛也可能发散，调和级数就是后一种情况的经典例子。发散级数的正规化不是数学上的花招，而是一种定义良好的求和推广，理解一种正规化方法在什么条件下是自洽的，仍然是分析学中一个活跃的研究领域。