分配律
fēn pèi lǜ
分配律指出 a(b + c) = ab + ac，即乘法可以分配到加法或减法上。
Formula
a(b + c) = ab + ac
Definition
分配律是指：当你用一个数乘以括号内的一组数时，要把这个数分别乘以括号里的每一项：对任意实数 $a$、$b$、$c$，有 $a(b + c) = ab + ac$，对减法同样成立，$a(b - c) = ab - ac$。它既用于展开表达式，也可以反过来用于因式分解。在环论中，乘法对加法的分配，即 $a(b + c) = ab + ac$ 和 $(b + c)a = ba + ca$（左分配律与右分配律），是环的定义公理之一；在交换环中这两种形式是等同的，而分配律使环成为自身上的一个双模。
Example
$3(x + 4) = 3 \times x + 3 \times 4 = 3x + 12$：$3$ 被分配给了 $x$ 和 $4$。展开：$-2(3x - 5) = -6x + 10$；反过来运用分配律做因式分解：$6x + 9 = 3(2x + 3)$。在矩阵环 $M_n(R)$ 中，乘法对加法满足分配律，$A(B + C) = AB + AC$，尽管矩阵乘法一般不满足交换律，即通常 $AB \neq BA$。
Key Insight
想象给一群 $(x + 4)$ 个人每人发 $3$ 块饼干：每个人得到 $3$ 块，所以总共发出 $3x + 12$ 块饼干。分配律是代数中乘法与加法之间的桥梁，几乎所有多项式展开都依赖它，而因式分解不过是反过来运用它；分配律连接了环的加法结构与乘法结构，如果没有它，这两种运算将彼此独立，我们所熟知的代数体系也就无法成立。