求导法
qiú dǎo fǎ
求导法是运用法则和公式求出函数导数的过程。
Formula
\frac{d}{dx}[f(x)]
Definition
求导法是求导数的分步过程，借助一整套法则，使你不必每次都使用冗长的极限定义。作为一种运算，$d/dx$ 作用在一个函数上会产生它的导数，它是可导函数空间上的一个线性算子：满足线性性（$d/dx[af + bg] = af' + bg'$）和莱布尼茨乘积法则。主要法则包括幂法则、乘积法则、商法则和链式法则，它们合在一起可以处理所有初等函数类型；在抽象代数中，这个算子定义了环上的一个求导（derivation）。
Example
要对 $y = x^4$ 求导，幂法则把指数拿下来乘到前面，再把指数减 $1$，得到 $dy/dx = 4x^3$。对于像 $f(x) = 3x^2 \sin(x)$ 这样的乘积，乘积法则给出 $f'(x) = 6x \sin(x) + 3x^2 \cos(x)$。隐函数求导把这一思想推广到混合了多个变量的方程：若 $x^2 + y^2 = 25$，则 $2x + 2y(dy/dx) = 0$，于是 $dy/dx = -x/y$，全程无需显式解出 $y$。
Key Insight
学习求导法则就像学习算术中的速算技巧：与其扳着手指数，不如使用更快且总是正确的工具。记号 $dy/dx$（莱布尼茨记法）与 $f'(x)$（拉格朗日记法）表示同一种运算，莱布尼茨记法尤其有用，因为它在链式法则中表现得像代数式一样可以"约分"。求导法甚至延伸到广义函数（分布）领域，使得阶跃函数和狄拉克 δ 函数也能有"导数"，这在信号处理和量子力学中至关重要。