角度与弧度的换算
jiǎo dù yǔ hú dù de huàn suàn
角度转弧度是利用比值 $\pi/180$ 把角度换算成弧度的过程。
Formula
\text{radians} = \text{degrees} \times \frac{\pi}{180}; \quad \text{degrees} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi}
Definition
要把角度换算成弧度，乘以 $\pi$ 再除以 $180$；反过来，则乘以 $180$ 再除以 $\pi$。由于 $360^\circ = 2\pi$ 弧度，换算公式为 $\text{radians} = \text{degrees} \times \pi/180$ 和 $\text{degrees} = \text{radians} \times 180/\pi$，这源自弧长与圆心角之间的比例关系，$\theta_{\text{radians}} / (2\pi) = \theta_{\text{degrees}} / 360$。这是一种带量纲的换算：角度是一种任意选定的单位，而弧度是无量纲的（弧长除以半径）。
Example
$90$ 度 $= 90 \times (\pi/180) = \pi/2$ 弧度，$\pi$ 弧度 $= 180$ 度；常见换算包括 $30^\circ = \pi/6$、$45^\circ = \pi/4$、$60^\circ = \pi/3$、$150^\circ = 5\pi/6$，以及 $270^\circ = 3\pi/2$。把 $7\pi/4$ 换算成角度，得到 $(7\pi/4) \times (180/\pi) = 315^\circ$。在复分析中，复数的辐角总是以弧度给出，$\arg(e^{i\pi/6}) = \pi/6$（对应 $30^\circ$），NumPy 和 MATLAB 等软件在所有三角函数中都默认使用弧度。
Key Insight
可以把它想成一种换算关系：每 $180$ 度等于 $\pi$ 弧度，由此便可以进行换算。科学计算器都有 DEG/RAD 模式切换开关，忘记切换是三角计算中最常见的错误来源之一；在高等数学中弧度是默认单位。弧度制在圆的缩放下保持不变，而角度制则不然，这正是弧度"自然"的原因：它编码的是弧长与半径的纯比值，与圆的大小无关，是在 $S^1$ 上进行分析以及做傅里叶变换的正确单位。