Punto Crítico
Un punto crítico es un lugar en una función donde la derivada es igual a cero o no está definida, y suele corresponder a un pico, un valle o una meseta.
Formula
f'(c) = 0 \text{ or } f'(c) \text{ undefined}
Definition
Un punto crítico es un lugar en una curva donde la pendiente es exactamente cero (plana) o donde la pendiente de repente no existe, un candidato a pico o valle. Formalmente, $c$ es un punto crítico de $f$ si $f'(c) = 0$ o $f'(c)$ no existe; todo extremo local debe ocurrir en un punto crítico, pero no todo punto crítico es un extremo. En cálculo multivariable, un punto crítico de $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es donde el gradiente $\nabla f = 0$ o no está definido, y la clasificación usa la matriz Hessiana: definida positiva significa un mínimo local, definida negativa un máximo local, indefinida un punto silla.
Example
En una colina, la cima misma está plana por un momento antes de que la pendiente vuelva a caer, ese punto plano es un punto crítico. Para $f(x) = x^3$: $f'(x) = 3x^2 = 0$ en $x = 0$, pero $x = 0$ no es ni un máximo ni un mínimo, es un punto de inflexión con tangente horizontal. Para $f(x,y) = x^2 - y^2$: $\nabla f = (2x, -2y) = 0$ en el origen, y la Hessiana $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$ es indefinida, confirmando que $(0,0)$ es un punto silla.
Key Insight
Encontrar puntos críticos es el primer paso para localizar los valores más altos y más bajos de una función, pero debes usar el criterio de la primera o segunda derivada para determinar si cada uno es un máximo, un mínimo o ninguno. Los puntos críticos son la columna vertebral de la optimización en el aprendizaje automático: el descenso de gradiente se aleja de los puntos silla y se acerca a los mínimos locales en un paisaje de pérdida de alta dimensión.