反例
fǎn lì
反例是一个具体的情形,通过说明一般性命题至少在一种情形下不成立,来推翻这个命题。
Definition
反例是证明一个命题为假的一个具体例子；你只需要找到一个规则失效的情形，就能推翻一个"对所有"的断言。严格地说，"对所有 $x$，$P(x)$"的反例是一个具体的值 $x_0$，使得 $P(x_0)$ 为假，一个反例就能彻底推翻一个全称断言。在模型论中，满足某个语句否定的结构就是一个反例模型；构造反例是一项重要的研究技巧，定理陈述中的每一个"假设条件"通常都是因为有某个反例说明它不能被去掉。
Example
命题："所有素数都是奇数。"反例：$2$ 是素数且是偶数，一个例子就足以推翻整个命题。考虑猜想"临界点处 $f'(x) = 0$ 蕴含局部极值"：反例 $f(x) = x^3$ 在 $x = 0$ 处有 $f'(0) = 0$，但 $x = 0$ 是一个拐点，既不是最大值也不是最小值。魏尔斯特拉斯函数（连续但处处不可导）是对"连续函数几乎处处可导"这一直觉的反例，而利用选择公理构造出的巴拿赫-塔斯基悖论，则是对"刚体运动保持体积不变"这一直觉的反例。
Key Insight
在数学中，证明某件事为真需要展示它对所有情形都成立，但反驳它只需要找到一个失效的情形，所以在尝试证明之前，总是先试着寻找反例。病态的反例揭示了直觉的局限，并促使定理中给出精确的条件。