同终边角
tóng zhōng biān jiǎo
同终边角是标准位置下终边相同的角，彼此相差整数圈的 $360^\circ$ 或 $2\pi$ 弧度。
Formula
\text{coterminal angles} = \theta + 360n \text{ degrees (or } \theta + 2\pi n \text{ radians) for any integer } n
Definition
同终边角是标准位置下共享同一终边的角，彼此相差一整圈或若干整圈 $360^\circ$（即 $2\pi$ 弧度）。两个角同终边当且仅当它们之差是 $2\pi$ 的整数倍，所以与 $\theta$ 同终边的角的集合是 $\{\theta + 2\pi k : k \in \mathbb{Z}\}$；严格来说，它们是 $\mathbb{R}/(2\pi\mathbb{Z})$ 中同一等价类的元素，由于所有三角函数都是以 $2\pi$ 为周期的，它们在这个商空间上是良好定义的，而这个商空间在拓扑上就是一个圆。
Example
$45^\circ$ 和 $405^\circ$ 同终边，因为 $405^\circ = 45^\circ + 360^\circ$，$-315^\circ$ 也与 $45^\circ$ 同终边。要求出 $750^\circ$ 小于 $360^\circ$ 的正同终边角：$750^\circ - 360^\circ = 390^\circ$，再 $390^\circ - 360^\circ = 30^\circ$。在复分析中，对所有整数 $k$ 都有 $e^{i\theta} = e^{i(\theta + 2\pi k)}$，这印证了指数映射 $e^{i\theta}: \mathbb{R} \to S^1$ 的核为 $2\pi\mathbb{Z}$，其基本域是 $[0, 2\pi)$，或等价地是 $(-\pi, \pi]$。
Key Insight
转一整圈会回到出发点，所以任意角加上或减去 $360^\circ$ 都落在同一位置，同终边角具有完全相同的三角值，$\sin(750^\circ) = \sin(30^\circ) = 0.5$，这只是周期性的另一种表述。商空间 $\mathbb{R}/(2\pi\mathbb{Z})$ 是"角度会绕回来"这一说法的抽象版本；同样的结构也出现在傅里叶级数以及基本群 $\pi_1(S^1) = \mathbb{Z}$ 的定义中。