Polígono Convexo
Un polígono convexo tiene todos los ángulos interiores menores de 180 grados, y cada diagonal queda completamente dentro de la figura.
Definition
Un polígono convexo no tiene "hendiduras" ni esquinas que apunten hacia adentro, cada ángulo apunta hacia afuera, y todos los ángulos interiores miden menos de $180^\circ$; equivalentemente, cualquier segmento que conecta dos puntos interiores (y cualquier diagonal) queda completamente dentro del polígono. Todos los polígonos regulares son convexos, la suma de los ángulos exteriores es exactamente $360^\circ$, y formalmente, un polígono $P$ es convexo si y solo si es la intersección de semiplanos; sus vértices son exactamente los puntos extremos de su envolvente convexa.
Example
Un cuadrado, un triángulo, un hexágono regular, y una señal de alto son todos convexos; una flecha o una estrella tienen hendiduras y no son convexas, siempre se ven como si "sobresalieran" hacia adentro en lugar de afuera. Un pentágono regular es convexo ya que todos sus ángulos interiores son $108^\circ<180^\circ$; una punta de flecha con un ángulo interior reflejo mayor de $180^\circ$ es cóncava. Dados los puntos $(0,0), (1,0), (0,1), (0.5,0.5)$, la envolvente convexa es el triángulo $(0,0), (1,0), (0,1)$, ya que $(0.5,0.5)$ está en el interior, hallable en tiempo $O(n\log n)$ mediante algoritmos como el escaneo de Graham o la marcha de Jarvis.
Key Insight
Una prueba sencilla: si una banda elástica estirada alrededor de la figura toca todos los vértices, es convexa; si la banda "salta" algún vértice porque queda empujado hacia adentro, el polígono es cóncavo. Los polígonos convexos tienen muchas propiedades que se pierden en los cóncavos: todas las diagonales permanecen dentro, la triangulación es fácil, el centroide siempre es interior, y la convexidad es la suposición clave detrás del teorema fundamental de la programación lineal (el método símplex), donde una función minimizada sobre un polígono convexo alcanza su mínimo en un vértice, un principio que se generaliza a politopos convexos en dimensiones superiores.