收敛
shōu liǎn
当数列或级数的各项(或部分和)随着项数无限增加而趋近于某个特定的有限值时,称它收敛。
Definition
当不断加入更多项时，如果运行中的总和越来越接近某个特定的数而不偏离它，这个级数就收敛：严格地说，$\sum a_n$ 收敛，如果它的部分和数列 $\{S_n\}$ 有一个有限极限 $L$。对于等比级数 $\sum a r^n$，收敛要求 $|r| < 1$，和为 $a/(1-r)$；虽然 $\lim a_n = 0$ 是收敛的必要条件，但不是充分条件。在度量空间 $(X, d)$ 中，一个级数收敛，如果它的部分和构成一个柯西数列，等价地，如果 $\lim_{n \to \infty} S_n$ 在 $X$ 中存在；绝对收敛（$\sum |a_n| < \infty$）在完备（巴拿赫）空间中蕴含收敛，而条件收敛（收敛但非绝对收敛）允许重排后得到任意的和，即黎曼重排定理。
Example
$1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots$ 收敛于 $2$：加到第 $10$ 项时，和已经约为 $1.998$，不断接近 $2$ 而从不超过它。从 $n=0$ 开始的 $\sum (1/2)^n$ 因 $|r| = 1/2 < 1$ 而收敛，和为 $1/(1 - 1/2) = 2$；而 $\sum 1/n^2$ 由 p 级数判别法（$p = 2 > 1$）收敛于 $\pi^2/6$。交错调和级数 $\sum (-1)^{n+1}/n = 1 - 1/2 + 1/3 - \ldots$ 由交错级数判别法条件收敛于 $\ln(2)$，然而重排它的各项可以得到任意实数值。
Key Insight
收敛意味着"锁定一个目标"：部分和越来越接近极限值，就像一支箭不断逼近靶心却从未真正到达；有几种判别法利用各项不同的性质来检验这一点：等比判别（$|r| < 1$）、p 级数判别（$p > 1$）、比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法。黎曼重排定理表明条件收敛是"脆弱的"，重排各项会破坏其和，而绝对收敛是稳健的版本，在任何重排下都保持不变。