连续整数
lián xù zhěng shù
连续整数是按顺序依次排列、没有间隔的整数，如4、5、6、7。
Formula
n, n+1, n+2, \ldots
Definition
连续整数是按计数顺序一个接一个出现、中间没有跳过的数；连续整数的形式为 $n, n+1, n+2, \ldots, n+k$，相邻两数相差恰好为 $1$，而连续的偶数或奇数则相差 $2$。从 $a$ 开始的 $n$ 个连续整数之和为 $na + n(n-1)/2$，任意一组连续整数的平均值等于其中间值（或两个中间值的平均），这使得求和变得容易。更一般地，连续整数问题与等差数列相关联，$k$ 个连续整数的积总能被 $k!$ 整除，这是一条组合恒等式（$\binom{n+k}{k} = \frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+k)}{k!}$ 是一个整数），它正是证明二项式系数为整数的依据。
Example
$7, 8, 9, 10$ 是四个连续整数，$2, 4, 6$ 是连续的偶数。求和为 $48$ 的三个连续整数：$n + (n+1) + (n+2) = 48$，所以 $3n + 3 = 48$，$n = 15$，得到 $15, 16, 17$（验证：$15+16+17=48$）。任意 $3$ 个连续整数的积都能被 $6$ 整除：其中一个能被 $3$ 整除，至少一个能被 $2$ 整除，更精确地说，$n(n+1)(n+2) = 6\binom{n+2}{3}$，正是 $6$ 乘以一个整数。
Key Insight
连续整数相差恰好为 $1$；连续的偶数或奇数相差 $2$。连续数的乘积（降阶乘）满足与微积分中幂函数类似的恒等式，作用在连续乘积上的差分算子，其表现与连续函数的导数如出一辙，把离散数学与连续数学统一了起来。